超理文献:超数学——正方体分析
在N维正交坐标系中，一个点的位置可以表示为(x1,x2……,xi-1,xi)，那么由所有满足{x|x∈[-1/2,1/2]}的点构成的点集则是本文讨论的对象。N=1时这是一个长度为1，且中心为原点的线段；N=2时这是一个边长为1，且且中心为原点的正方形；N=3时这是一个棱长为1，且中心为原点的正方体；N=4时这是一个棱长为1，且且中心为原点的超正方体……
我们知道，一个线段有1条边和2个顶点，一个正方形有1个正方形、4条边和4个顶点；一个立方体有1个立方体、6个面、12条棱和8个顶点；一个超立方体有1个超立方体、8个正方体、24个面、32条棱和16个顶点。通过数学归纳法，对于N维的情况有：(d+2)^N=Σ(i=0,n)C(N,i)*2^(N-I)*d^i。这里d^i代表数学对象的维度，其系数表示其个数。根据这个式子，我们总结了N维数学对象与1维至N维数学对象的数量关系，见下表。
| 展开 | 0维 | 1维 | 2维 | 3维 | 4维 | 5维 | 6维 | 7维 | 8维 | 9维 | 10维 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0维 | 1个 | ||||||||||
| 1维 | 2个 | 1个 | |||||||||
| 2维 | 4个 | 4个 | 1个 | ||||||||
| 3维 | 8个 | 12个 | 6个 | 1个 | |||||||
| 4维 | 16个 | 32个 | 24个 | 8个 | 1个 | ||||||
| 5维 | 32个 | 80个 | 80个 | 40个 | 10个 | 1个 | |||||
| 6维 | 64个 | 192个 | 240个 | 160个 | 60个 | 12个 | 1个 | ||||
| 7维 | 128个 | 448个 | 672个 | 560个 | 280个 | 84个 | 14个 | 1个 | |||
| 8维 | 256个 | 1024个 | 1792个 | 1792个 | 1120个 | 448个 | 112个 | 16个 | 1个 | ||
| 9维 | 512个 | 2304个 | 4608个 | 5376个 | 4032个 | 2016个 | 672个 | 144个 | 18个 | 1个 | |
| 10维 | 1024个 | 5120个 | 11520个 | 15360个 | 13440个 | 8064个 | 3360个 | 960个 | 180个 | 20个 | 1个 |
但是，对于负数维度的情况，我们要怎么分析呢？仙童数学指出，对于N为负数的情况，我们可以对(d+2)^N进行泰勒展开，从而得到d^i项的系数。进一步地，我们还可以分析N为分数的情况。d^i项的系数为f在0处的i阶导数除以i的阶乘。
给出N为-1到-5时的情况（为了简洁，只展开到4维）：
- (d+2)-1=d0/2-d1/4+d2/8-d3/16+d4/32+……
- (d+2)-2=d0/4-d1/4+(3*d2)/16-d3/8+(5*d4)/64+……
- (d+2)-3=d0/8-(3*d1)/16+(3*d2)/16-(5*d3)/32+(15*d4)/128+……
- (d+2)-4=d0/16-d1/8+(5*d2)/32-(5*d3)/32+(35*d4)/256+……
- (d+2)-5=d0/32-(5*d1)/64+(15*d2)/128-(35*d3)/256+(35*d4)/256+……
衍生[编辑]
对于-1维的情况，如果我们截断到4维，则有(d+2)-1=d0/2-d1/4+d2/8-d3/16+d4/32+o(d4)
如果我们用零维、一维、二维、三维、四维的正方体作为基向量表示它：
即用D(0)=(1,0,0,0,0)、D(1)=(2,1,0,0,0)、D(2)=(4,4,1,0,0)、D(3)=(8,12,6,1,0)、D(4)=(16,32,24,8,1)表示D(-1)=(1/2,-1/4,+1/8,-1/16,1/32)，
则有D(-1)=5/2D(0)-5/2D(1)+5/4D(2)-5/16D(3)+1/32D(4)
它的含义是：在截断到4维的情况下，-1维正方体由5/2个点、-5/2个线段、5/4个正方形、-5/16个正方体和1/32个超正方体组成。