超理文献:对数币和指数币（二）

在对数币和指数币（一）中提到过，对数币没有锑币为负的情况，指数币没有自身为负的情况。要研究这些特殊的情况应该怎么办？我们发现这类货币不适合用复数，已经没有考虑exp(z)和ln(z)的必要。

拓展对数币

在研究这个问题数年后，亚当斯鸠扩大了对数币的定义域。他的做法实际上非常简单，就是用对数币的奇函数定义锑币数量小于0的情况。

根据亚当斯鸠的想法，N<0时，对数币的计算会变成N[lg]T=-(10^-N)T，NT=(-lg(-N))[lg]T，其中N为数值。

后来，古典经济学领域的一位学者（其导师是Way-Way·Antimony中文翻译为维为·张）提出，在这样修改定义后，一个对数币数量会对应两个锑币数量，所以需要在对数币中标上正负号以表示锑币的正负，比如[lg+]T、[lg-]T，现在我们称之为拓展对数币。根据他的想法，我们可以将对数币的定义修改为：N[lg+]T=(10^N)*T，NT=(lgN)[lg+]T；N[lg-]T=-(10^-N)T，NT=(-lg(-N))[lg-]T，其中N为数值。

锑币数量为0时，拓展对数币不存在。如果试图用质子计算机储存锑币数量为0时拓展对数币的数值，质子计算机只会生成NaN或者错。

定义

• N[lg+]T=(10^N)*T，NT=(lgN)[lg+]T
• N[lg-]T=-(10^-N)T，NT=(-lg(-N))[lg-]T

拓展指数币

不同于对数币，指数币是双射的并且定义域为任意锑币，与对数币相比它的性质已经很好了，这就使得亚当斯鸠在内的许多锑星经济学家都没有拓展指数币的意愿。实际上在拓展对数币的观点出来了两百年（实际上是51*ln51）年之后，才有学者首次根据对称性提出拓展指数币。

仿照亚当斯鸠的想法，我们使用指数币的奇函数定义指数币数量小于0时的情况。N<0时，指数币的计算会变成N[10]T=(-lg(-N))T，NT=(-10^-N)[10]T，其中N为数值。

后来，古典经济学领域的另一位学者（其导师的导师是Way-Way·Antimony中文翻译为维为·张）提出，在这样修改定义后，一个锑币数量会对应两个指数币数量，所以需要在指数币中标上正负号以表示指数币的正负，比如[10+]T、[10-]T，现在我们称之为拓展指数币。根据他的想法，我们可以将指数币的定义修改为：N[10+]T=(lgN)T，NT=(10^N)[10+]T；N[10-]T=(-lg(-N))T，NT=(-10^-N)[10-]T，其中N为数值。

拓展对数币数量为0时，锑币不存在。如果试图用质子计算机储存对数币数量为0时锑币的数值，质子计算机只会输出NaN或者错。

定义

• N[10+]T=(lgN)T，NT=(10^N)[10+]T
• N[10-]T=(-lg(-N))T，NT=(-10^-N)[10-]T

性质

拓展指数币有个特别的性质——一个锑币数量对应的两个指数币数量我们不妨记作N₁和N₂，则恒有N₁*N₂=-1。

根据对称性，拓展对数币也有类似的性质——一个对数币数量对应的两个锑币数量我们不妨记作N₁和N₂，则恒有N₁*N₂=-1。

这个结论不难证明，只需注意指数币和对数币的对称性即可。