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| 但是，对于负数维度的情况，我们要怎么分析呢？仙童数学指出，'''''对于N为负数的情况，我们可以对(d+2)^N进行泰勒展开，从而得到d^i项的系数'''''。进一步地，我们还可以分析N为分数的情况。d^i项的系数为f在0处的i阶导数除以i的阶乘。 | | 但是，对于负数维度的情况，我们要怎么分析呢？仙童数学指出，'''''对于N为负数的情况，我们可以对(d+2)^N进行泰勒展开，从而得到d^i项的系数'''''。进一步地，我们还可以分析N为分数的情况。d^i项的系数为f在0处的i阶导数除以i的阶乘。 |
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| 给出N为-1到-5时的情况（为了简洁，只展开到4维）：
| | 这里，我们附上N为-1到-5时的情况（为了简洁，我们只展开到4维）： |
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| * (d+2)<sup>-1</sup>=d<sup>0</sup>/2-d<sup>1</sup>/4+d<sup>2</sup>/8-d<sup>3</sup>/16+d<sup>4</sup>/32+……
| | # (d+2)^-1=d^0/2-d^1/4+d^2/8-d^3/16+d^4/32+…… |
| * (d+2)<sup>-2</sup>=d<sup>0</sup>/4-d<sup>1</sup>/4+(3*d<sup>2</sup>)/16-d<sup>3</sup>/8+(5*d<sup>4</sup>)/64+……
| | # (d+2)^-2=d^0/4-d^1/4+(3*d^2)/16-d^3/8+(5*d^4)/64+…… |
| * (d+2)<sup>-3</sup>=d<sup>0</sup>/8-(3*d<sup>1</sup>)/16+(3*d<sup>2</sup>)/16-(5*d<sup>3</sup>)/32+(15*d<sup>4</sup>)/128+……
| | # (d+2)^-3=d^0/8-(3*d^1)/16+(3*d^2)/16-(5*d^3)/32+(15*d^4)/128+…… |
| * (d+2)<sup>-4</sup>=d<sup>0</sup>/16-d<sup>1</sup>/8+(5*d<sup>2</sup>)/32-(5*d<sup>3</sup>)/32+(35*d<sup>4</sup>)/256+……
| | # (d+2)^-4=d^0/16-d^1/8+(5*d^2)/32-(5*d^3)/32+(35*d^4)/256+…… |
| * (d+2)<sup>-5</sup>=d<sup>0</sup>/32-(5*d<sup>1</sup>)/64+(15*d<sup>2</sup>)/128-(35*d<sup>3</sup>)/256+(35*d<sup>4</sup>)/256+……
| | # (d+2)^-5=d^0/32-(5*d^1)/64+(15*d^2)/128-(35*d^3)/256+(35*d^4)/256+…… |
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| == 衍生 ==
| | 我们发现，在N为负整数的前提下，i为偶数时系数为正，i为奇数时系数为负。对于N为分数的情况，这里我们不做进一步的探究。 |
| 对于-1维的情况，如果我们截断到4维，则有(d+2)<sup>-1</sup>=d<sup>0</sup>/2-d<sup>1</sup>/4+d<sup>2</sup>/8-d<sup>3</sup>/16+d<sup>4</sup>/32+o(d<sup>4</sup>) | |
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| 如果我们用零维、一维、二维、三维、四维的正方体作为基向量表示它：
| | 事实上，也可以通过广义二项式定理来分析N维数学对象与1维至N维数学对象的数量关系，但是限于篇幅，这里我们不做进一步的探究。 |
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| 即用D(0)=(1,0,0,0,0)、D(1)=(2,1,0,0,0)、D(2)=(4,4,1,0,0)、D(3)=(8,12,6,1,0)、D(4)=(16,32,24,8,1)表示D(-1)=(1/2,-1/4,+1/8,-1/16,1/32)，
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| 则有D(-1)=5/2D(0)-5/2D(1)+5/4D(2)-5/16D(3)+1/32D(4)
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| 它的含义是：在截断到4维的情况下，-1维正方体由5/2个点、-5/2个线段、5/4个正方形、-5/16个正方体和1/32个超正方体组成。
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