编辑“︁超理文献:超数学——正方体分析”︁
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但是，对于负数维度的情况，我们要怎么分析呢？仙童数学指出，'''''对于N为负数的情况，我们可以对(d+2)^N进行泰勒展开，从而得到d^i项的系数'''''。进一步地，我们还可以分析N为分数的情况。d^i项的系数为f在0处的i阶导数除以i的阶乘。 | 但是，对于负数维度的情况，我们要怎么分析呢？仙童数学指出，'''''对于N为负数的情况，我们可以对(d+2)^N进行泰勒展开，从而得到d^i项的系数'''''。进一步地，我们还可以分析N为分数的情况。d^i项的系数为f在0处的i阶导数除以i的阶乘。 | ||
这里，我们附上N为-1到-5时的情况（为了简洁，我们只展开到4维）： | |||
* (d+2)<sup>-1</sup>=d<sup>0</sup>/2-d<sup>1</sup>/4+d<sup>2</sup>/8-d<sup>3</sup>/16+d<sup>4</sup>/32+…… | * (d+2)<sup>-1</sup>=d<sup>0</sup>/2-d<sup>1</sup>/4+d<sup>2</sup>/8-d<sup>3</sup>/16+d<sup>4</sup>/32+…… | ||
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* (d+2)<sup>-4</sup>=d<sup>0</sup>/16-d<sup>1</sup>/8+(5*d<sup>2</sup>)/32-(5*d<sup>3</sup>)/32+(35*d<sup>4</sup>)/256+…… | * (d+2)<sup>-4</sup>=d<sup>0</sup>/16-d<sup>1</sup>/8+(5*d<sup>2</sup>)/32-(5*d<sup>3</sup>)/32+(35*d<sup>4</sup>)/256+…… | ||
* (d+2)<sup>-5</sup>=d<sup>0</sup>/32-(5*d<sup>1</sup>)/64+(15*d<sup>2</sup>)/128-(35*d<sup>3</sup>)/256+(35*d<sup>4</sup>)/256+…… | * (d+2)<sup>-5</sup>=d<sup>0</sup>/32-(5*d<sup>1</sup>)/64+(15*d<sup>2</sup>)/128-(35*d<sup>3</sup>)/256+(35*d<sup>4</sup>)/256+…… | ||
我们发现，在N为负整数的前提下，i为偶数时系数为正，i为奇数时系数为负。对于N为分数的情况，这里我们不做进一步的探究。 | |||
事实上，也可以通过广义二项式定理来分析N维数学对象与1维至N维数学对象的数量关系，但是限于篇幅，这里我们不做进一步的探究。 | |||
== 衍生 == | == 衍生 == | ||
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则有D(-1)=5/2D(0)-5/2D(1)+5/4D(2)-5/16D(3)+1/32D(4) | 则有D(-1)=5/2D(0)-5/2D(1)+5/4D(2)-5/16D(3)+1/32D(4) | ||
它的含义是：在截断到4维的情况下，-1维正方体 | 它的含义是：在截断到4维的情况下，-1维正方体中由25/2个点、-5/2个线段、5/4个正方形、-5/16个正方体和1/32个超正方体组成。 | ||