超理文献:超数学——正方体分析：修订间差异
imported>黄金之风 创建页面，内容为“在N维正交坐标系中，一个点的位置可以表示为(x<small>1</small>,x<small>2</small>……,x<small>i-1</small>,x<small>i</small>)，那么由所有满足{x|x∈[-1/2,1/2]}的点构成的点集则是本文讨论的对象。N=1时这是一个长度为1，且中心为原点的线段；N=2时这是一个边长为1，且且中心为原点的正方形；N=3时这是一个棱长为1，且中心为原点的正方体；N=4时这是一个棱长为1，且且…” |
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但是，对于负数维度的情况，我们要怎么分析呢？仙童数学指出，'''''对于N为负数的情况，我们可以对(d+2)^N进行泰勒展开，从而得到d^i项的系数'''''。进一步地，我们还可以分析N为分数的情况。d^i项的系数为f在0处的i阶导数除以i的阶乘。 | 但是，对于负数维度的情况，我们要怎么分析呢？仙童数学指出，'''''对于N为负数的情况，我们可以对(d+2)^N进行泰勒展开，从而得到d^i项的系数'''''。进一步地，我们还可以分析N为分数的情况。d^i项的系数为f在0处的i阶导数除以i的阶乘。 | ||
给出N为-1到-5时的情况（为了简洁，只展开到4维）： | |||
* (d+2)<sup>-1</sup>=d<sup>0</sup>/2-d<sup>1</sup>/4+d<sup>2</sup>/8-d<sup>3</sup>/16+d<sup>4</sup>/32+…… | |||
* (d+2)<sup>-2</sup>=d<sup>0</sup>/4-d<sup>1</sup>/4+(3*d<sup>2</sup>)/16-d<sup>3</sup>/8+(5*d<sup>4</sup>)/64+…… | |||
* (d+2)<sup>-3</sup>=d<sup>0</sup>/8-(3*d<sup>1</sup>)/16+(3*d<sup>2</sup>)/16-(5*d<sup>3</sup>)/32+(15*d<sup>4</sup>)/128+…… | |||
* (d+2)<sup>-4</sup>=d<sup>0</sup>/16-d<sup>1</sup>/8+(5*d<sup>2</sup>)/32-(5*d<sup>3</sup>)/32+(35*d<sup>4</sup>)/256+…… | |||
* (d+2)<sup>-5</sup>=d<sup>0</sup>/32-(5*d<sup>1</sup>)/64+(15*d<sup>2</sup>)/128-(35*d<sup>3</sup>)/256+(35*d<sup>4</sup>)/256+…… | |||
== 衍生 == | |||
对于-1维的情况，如果我们截断到4维，则有(d+2)<sup>-1</sup>=d<sup>0</sup>/2-d<sup>1</sup>/4+d<sup>2</sup>/8-d<sup>3</sup>/16+d<sup>4</sup>/32+o(d<sup>4</sup>) | |||
如果我们用零维、一维、二维、三维、四维的正方体作为基向量表示它： | |||
即用D(0)=(1,0,0,0,0)、D(1)=(2,1,0,0,0)、D(2)=(4,4,1,0,0)、D(3)=(8,12,6,1,0)、D(4)=(16,32,24,8,1)表示D(-1)=(1/2,-1/4,+1/8,-1/16,1/32)， | |||
则有D(-1)=5/2D(0)-5/2D(1)+5/4D(2)-5/16D(3)+1/32D(4) | |||
它的含义是：在截断到4维的情况下，-1维正方体由5/2个点、-5/2个线段、5/4个正方形、-5/16个正方体和1/32个超正方体组成。 | |||