超理文献:超数学——正方体分析

在N維正交坐標系中，一個點的位置可以表示為(x1,x2……,xi-1,xi)，那麼由所有滿足{x|x∈[-1/2,1/2]}的點構成的點集則是本文討論的對象。N=1時這是一個長度為1，且中心為原點的線段；N=2時這是一個邊長為1，且且中心為原點的正方形；N=3時這是一個棱長為1，且中心為原點的正方體；N=4時這是一個棱長為1，且且中心為原點的超正方體……

我們知道，一個線段有1條邊和2個頂點，一個正方形有1個正方形、4條邊和4個頂點；一個立方體有1個立方體、6個面、12條棱和8個頂點；一個超立方體有1個超立方體、8個正方體、24個面、32條棱和16個頂點。通過數學歸納法，對於N維的情況有：(d+2)^N=Σ(i=0,n)C(N,i)*2^(N-I)*d^i。這裏d^i代表數學對象的維度，其係數表示其個數。根據這個式子，我們總結了N維數學對象與1維至N維數學對象的數量關係，見下表。

N維的數學對象的個數

展開	0維	1維	2維	3維	4維	5維	6維	7維	8維	9維	10維
0維	1個
1維	2個	1個
2維	4個	4個	1個
3維	8個	12個	6個	1個
4維	16個	32個	24個	8個	1個
5維	32個	80個	80個	40個	10個	1個
6維	64個	192個	240個	160個	60個	12個	1個
7維	128個	448個	672個	560個	280個	84個	14個	1個
8維	256個	1024個	1792個	1792個	1120個	448個	112個	16個	1個
9維	512個	2304個	4608個	5376個	4032個	2016個	672個	144個	18個	1個
10維	1024個	5120個	11520個	15360個	13440個	8064個	3360個	960個	180個	20個	1個

但是，對於負數維度的情況，我們要怎麼分析呢？仙童數學指出，對於N為負數的情況，我們可以對(d+2)^N進行泰勒展開，從而得到d^i項的係數。進一步地，我們還可以分析N為分數的情況。d^i項的係數為f在0處的i階導數除以i的階乘。

這裏，我們附上N為-1到-5時的情況（為了簡潔，我們只展開到4維）：

1. (d+2)^-1=d^0/2-d^1/4+d^2/8-d^3/16+d^4/32+……
2. (d+2)^-2=d^0/4-d^1/4+(3*d^2)/16-d^3/8+(5*d^4)/64+……
3. (d+2)^-3=d^0/8-(3*d^1)/16+(3*d^2)/16-(5*d^3)/32+(15*d^4)/128+……
4. (d+2)^-4=d^0/16-d^1/8+(5*d^2)/32-(5*d^3)/32+(35*d^4)/256+……
5. (d+2)^-5=d^0/32-(5*d^1)/64+(15*d^2)/128-(35*d^3)/256+(35*d^4)/256+……

我們發現，在N為負整數的前提下，i為偶數時係數為正，i為奇數時係數為負。對於N為分數的情況，這裏我們不做進一步的探究。

事實上，也可以通過廣義二項式定理來分析N維數學對象與1維至N維數學對象的數量關係，但是限於篇幅，這裏我們不做進一步的探究。