超理文献:超数学——正方体分析:修订间差异
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这里,我们附上N为-1到-5时的情况(为了简洁,我们只展开到4维): | 这里,我们附上N为-1到-5时的情况(为了简洁,我们只展开到4维): | ||
* (d+2)<sup>-1</sup>=d<sup>0</sup>/2-d<sup>1</sup>/4+d<sup>2</sup>/8-d<sup>3</sup>/16+d<sup>4</sup>/32+…… | |||
* (d+2)<sup>-2</sup>=d<sup>0</sup>/4-d<sup>1</sup>/4+(3*d<sup>2</sup>)/16-d<sup>3</sup>/8+(5*d<sup>4</sup>)/64+…… | |||
* (d+2)<sup>-3</sup>=d<sup>0</sup>/8-(3*d<sup>1</sup>)/16+(3*d<sup>2</sup>)/16-(5*d<sup>3</sup>)/32+(15*d<sup>4</sup>)/128+…… | |||
* (d+2)<sup>-4</sup>=d<sup>0</sup>/16-d<sup>1</sup>/8+(5*d<sup>2</sup>)/32-(5*d<sup>3</sup>)/32+(35*d<sup>4</sup>)/256+…… | |||
* (d+2)<sup>-5</sup>=d<sup>0</sup>/32-(5*d<sup>1</sup>)/64+(15*d<sup>2</sup>)/128-(35*d<sup>3</sup>)/256+(35*d<sup>4</sup>)/256+…… | |||
我们发现,在N为负整数的前提下,i为偶数时系数为正,i为奇数时系数为负。对于N为分数的情况,这里我们不做进一步的探究。 | 我们发现,在N为负整数的前提下,i为偶数时系数为正,i为奇数时系数为负。对于N为分数的情况,这里我们不做进一步的探究。 | ||
事实上,也可以通过广义二项式定理来分析N维数学对象与1维至N维数学对象的数量关系,但是限于篇幅,这里我们不做进一步的探究。 | 事实上,也可以通过广义二项式定理来分析N维数学对象与1维至N维数学对象的数量关系,但是限于篇幅,这里我们不做进一步的探究。 | ||
== 衍生 == | |||
对于-1维的情况,如果我们截断到4维,则有(d+2)<sup>-1</sup>=d<sup>0</sup>/2-d<sup>1</sup>/4+d<sup>2</sup>/8-d<sup>3</sup>/16+d<sup>4</sup>/32+o(d<sup>4</sup>) | |||
如果我们用一维、二维、三维、四维的正方体作为基向量表示它,也就是用D(1)=(1,0,0,0)、D(2)=(2,1,0,0)、D(3)=(4,4,1,0)、D(4)=(8,12,6,1)表示D(-1)=(1/2,-1/4+1/8,-1/16) | |||
则有D(-1)=2*D(1)-3/2*D(2)+1/2*D(3)-1/16*D(4) |