「超理文献:超数学——正方体分析」：修訂間差異

於 2025年3月15日 (六) 02:08 的最新修訂

在N維正交坐標系中，一個點的位置可以表示為(x1,x2……,xi-1,xi)，那麼由所有滿足{x|x∈[-1/2,1/2]}的點構成的點集則是本文討論的對象。N=1時這是一個長度為1，且中心為原點的線段；N=2時這是一個邊長為1，且且中心為原點的正方形；N=3時這是一個棱長為1，且中心為原點的正方體；N=4時這是一個棱長為1，且且中心為原點的超正方體……

我們知道，一個線段有1條邊和2個頂點，一個正方形有1個正方形、4條邊和4個頂點；一個立方體有1個立方體、6個面、12條棱和8個頂點；一個超立方體有1個超立方體、8個正方體、24個面、32條棱和16個頂點。通過數學歸納法，對於N維的情況有：(d+2)^N=Σ(i=0,n)C(N,i)*2^(N-I)*d^i。這裏d^i代表數學對象的維度，其係數表示其個數。根據這個式子，我們總結了N維數學對象與1維至N維數學對象的數量關係，見下表。

N維的數學對象的個數
展開	0維	1維	2維	3維	4維	5維	6維	7維	8維	9維	10維
0維	1個
1維	2個	1個
2維	4個	4個	1個
3維	8個	12個	6個	1個
4維	16個	32個	24個	8個	1個
5維	32個	80個	80個	40個	10個	1個
6維	64個	192個	240個	160個	60個	12個	1個
7維	128個	448個	672個	560個	280個	84個	14個	1個
8維	256個	1024個	1792個	1792個	1120個	448個	112個	16個	1個
9維	512個	2304個	4608個	5376個	4032個	2016個	672個	144個	18個	1個
10維	1024個	5120個	11520個	15360個	13440個	8064個	3360個	960個	180個	20個	1個

但是，對於負數維度的情況，我們要怎麼分析呢？仙童數學指出，對於N為負數的情況，我們可以對(d+2)^N進行泰勒展開，從而得到d^i項的係數。進一步地，我們還可以分析N為分數的情況。d^i項的係數為f在0處的i階導數除以i的階乘。

給出N為-1到-5時的情況（為了簡潔，只展開到4維）：

(d+2)^-1=d⁰/2-d¹/4+d²/8-d³/16+d⁴/32+……
(d+2)^-2=d⁰/4-d¹/4+(3*d²)/16-d³/8+(5*d⁴)/64+……
(d+2)^-3=d⁰/8-(3*d¹)/16+(3*d²)/16-(5*d³)/32+(15*d⁴)/128+……
(d+2)^-4=d⁰/16-d¹/8+(5*d²)/32-(5*d³)/32+(35*d⁴)/256+……
(d+2)^-5=d⁰/32-(5*d¹)/64+(15*d²)/128-(35*d³)/256+(35*d⁴)/256+……

衍生[編輯]

對於-1維的情況，如果我們截斷到4維，則有(d+2)^-1=d⁰/2-d¹/4+d²/8-d³/16+d⁴/32+o(d⁴)

如果我們用零維、一維、二維、三維、四維的正方體作為基向量表示它：

即用D(0)=(1,0,0,0,0)、D(1)=(2,1,0,0,0)、D(2)=(4,4,1,0,0)、D(3)=(8,12,6,1,0)、D(4)=(16,32,24,8,1)表示D(-1)=(1/2,-1/4,+1/8,-1/16,1/32)，

則有D(-1)=5/2D(0)-5/2D(1)+5/4D(2)-5/16D(3)+1/32D(4)

它的含義是：在截斷到4維的情況下，-1維正方體由5/2個點、-5/2個線段、5/4個正方形、-5/16個正方體和1/32個超正方體組成。

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 但是，对于负数维度的情况，我们要怎么分析呢？仙童数学指出，'''''对于N为负数的情况，我们可以对(d+2)^N进行泰勒展开，从而得到d^i项的系数'''''。进一步地，我们还可以分析N为分数的情况。d^i项的系数为f在0处的i阶导数除以i的阶乘。
-这里，我们附上N为-1到-5时的情况（为了简洁，我们只展开到4维）：
+给出N为-1到-5时的情况（为了简洁，只展开到4维）：
 * (d+2)<sup>-1</sup>=d<sup>0</sup>/2-d<sup>1</sup>/4+d<sup>2</sup>/8-d<sup>3</sup>/16+d<sup>4</sup>/32+……
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 * (d+2)<sup>-4</sup>=d<sup>0</sup>/16-d<sup>1</sup>/8+(5*d<sup>2</sup>)/32-(5*d<sup>3</sup>)/32+(35*d<sup>4</sup>)/256+……
 * (d+2)<sup>-5</sup>=d<sup>0</sup>/32-(5*d<sup>1</sup>)/64+(15*d<sup>2</sup>)/128-(35*d<sup>3</sup>)/256+(35*d<sup>4</sup>)/256+……
-我们发现，在N为负整数的前提下，i为偶数时系数为正，i为奇数时系数为负。对于N为分数的情况，这里我们不做进一步的探究。
-事实上，也可以通过广义二项式定理来分析N维数学对象与1维至N维数学对象的数量关系，但是限于篇幅，这里我们不做进一步的探究。
 == 衍生 ==
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 则有D(-1)=5/2D(0)-5/2D(1)+5/4D(2)-5/16D(3)+1/32D(4)
-它的含义是：在截断到4维的情况下，-1维正方体中由25/2个点、-5/2个线段、5/4个正方形、-5/16个正方体和1/32个超正方体组成。
+它的含义是：在截断到4维的情况下，-1维正方体由5/2个点、-5/2个线段、5/4个正方形、-5/16个正方体和1/32个超正方体组成。