超理文獻:超數學——正方體分析
在N維正交坐標系中，一個點的位置可以表示為(x1,x2……,xi-1,xi)，那麼由所有滿足{x|x∈[-1/2,1/2]}的點構成的點集則是本文討論的對象。N=1時這是一個長度為1，且中心為原點的線段；N=2時這是一個邊長為1，且且中心為原點的正方形；N=3時這是一個棱長為1，且中心為原點的正方體；N=4時這是一個棱長為1，且且中心為原點的超正方體……
我們知道，一個線段有1條邊和2個頂點，一個正方形有1個正方形、4條邊和4個頂點；一個立方體有1個立方體、6個面、12條棱和8個頂點；一個超立方體有1個超立方體、8個正方體、24個面、32條棱和16個頂點。通過數學歸納法，對於N維的情況有：(d+2)^N=Σ(i=0,n)C(N,i)*2^(N-I)*d^i。這裏d^i代表數學對象的維度，其係數表示其個數。根據這個式子，我們總結了N維數學對象與1維至N維數學對象的數量關係，見下表。
| 展開 | 0維 | 1維 | 2維 | 3維 | 4維 | 5維 | 6維 | 7維 | 8維 | 9維 | 10維 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0維 | 1個 | ||||||||||
| 1維 | 2個 | 1個 | |||||||||
| 2維 | 4個 | 4個 | 1個 | ||||||||
| 3維 | 8個 | 12個 | 6個 | 1個 | |||||||
| 4維 | 16個 | 32個 | 24個 | 8個 | 1個 | ||||||
| 5維 | 32個 | 80個 | 80個 | 40個 | 10個 | 1個 | |||||
| 6維 | 64個 | 192個 | 240個 | 160個 | 60個 | 12個 | 1個 | ||||
| 7維 | 128個 | 448個 | 672個 | 560個 | 280個 | 84個 | 14個 | 1個 | |||
| 8維 | 256個 | 1024個 | 1792個 | 1792個 | 1120個 | 448個 | 112個 | 16個 | 1個 | ||
| 9維 | 512個 | 2304個 | 4608個 | 5376個 | 4032個 | 2016個 | 672個 | 144個 | 18個 | 1個 | |
| 10維 | 1024個 | 5120個 | 11520個 | 15360個 | 13440個 | 8064個 | 3360個 | 960個 | 180個 | 20個 | 1個 |
但是，對於負數維度的情況，我們要怎麼分析呢？仙童數學指出，對於N為負數的情況，我們可以對(d+2)^N進行泰勒展開，從而得到d^i項的係數。進一步地，我們還可以分析N為分數的情況。d^i項的係數為f在0處的i階導數除以i的階乘。
這裏，我們附上N為-1到-5時的情況（為了簡潔，我們只展開到4維）：
- (d+2)^-1=d^0/2-d^1/4+d^2/8-d^3/16+d^4/32+……
- (d+2)^-2=d^0/4-d^1/4+(3*d^2)/16-d^3/8+(5*d^4)/64+……
- (d+2)^-3=d^0/8-(3*d^1)/16+(3*d^2)/16-(5*d^3)/32+(15*d^4)/128+……
- (d+2)^-4=d^0/16-d^1/8+(5*d^2)/32-(5*d^3)/32+(35*d^4)/256+……
- (d+2)^-5=d^0/32-(5*d^1)/64+(15*d^2)/128-(35*d^3)/256+(35*d^4)/256+……
我們發現，在N為負整數的前提下，i為偶數時係數為正，i為奇數時係數為負。對於N為分數的情況，這裏我們不做進一步的探究。
事實上，也可以通過廣義二項式定理來分析N維數學對象與1維至N維數學對象的數量關係，但是限於篇幅，這裏我們不做進一步的探究。