超理文獻:超數學——正方體分析
在N維正交坐標系中，一個點的位置可以表示為(x1,x2……,xi-1,xi)，那麼由所有滿足{x|x∈[-1/2,1/2]}的點構成的點集則是本文討論的對象。N=1時這是一個長度為1，且中心為原點的線段；N=2時這是一個邊長為1，且且中心為原點的正方形；N=3時這是一個棱長為1，且中心為原點的正方體；N=4時這是一個棱長為1，且且中心為原點的超正方體……
我們知道，一個線段有1條邊和2個頂點，一個正方形有1個正方形、4條邊和4個頂點；一個立方體有1個立方體、6個面、12條棱和8個頂點；一個超立方體有1個超立方體、8個正方體、24個面、32條棱和16個頂點。通過數學歸納法，對於N維的情況有：(d+2)^N=Σ(i=0,n)C(N,i)*2^(N-I)*d^i。這裡d^i代表數學對象的維度，其係數表示其個數。根據這個式子，我們總結了N維數學對象與1維至N維數學對象的數量關係，見下表。
| 展開 | 0維 | 1維 | 2維 | 3維 | 4維 | 5維 | 6維 | 7維 | 8維 | 9維 | 10維 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0維 | 1個 | ||||||||||
| 1維 | 2個 | 1個 | |||||||||
| 2維 | 4個 | 4個 | 1個 | ||||||||
| 3維 | 8個 | 12個 | 6個 | 1個 | |||||||
| 4維 | 16個 | 32個 | 24個 | 8個 | 1個 | ||||||
| 5維 | 32個 | 80個 | 80個 | 40個 | 10個 | 1個 | |||||
| 6維 | 64個 | 192個 | 240個 | 160個 | 60個 | 12個 | 1個 | ||||
| 7維 | 128個 | 448個 | 672個 | 560個 | 280個 | 84個 | 14個 | 1個 | |||
| 8維 | 256個 | 1024個 | 1792個 | 1792個 | 1120個 | 448個 | 112個 | 16個 | 1個 | ||
| 9維 | 512個 | 2304個 | 4608個 | 5376個 | 4032個 | 2016個 | 672個 | 144個 | 18個 | 1個 | |
| 10維 | 1024個 | 5120個 | 11520個 | 15360個 | 13440個 | 8064個 | 3360個 | 960個 | 180個 | 20個 | 1個 |
但是，對於負數維度的情況，我們要怎麼分析呢？仙童數學指出，對於N為負數的情況，我們可以對(d+2)^N進行泰勒展開，從而得到d^i項的係數。進一步地，我們還可以分析N為分數的情況。d^i項的係數為f在0處的i階導數除以i的階乘。
這裡，我們附上N為-1到-5時的情況（為了簡潔，我們只展開到4維）：
- (d+2)-1=d0/2-d1/4+d2/8-d3/16+d4/32+……
- (d+2)-2=d0/4-d1/4+(3*d2)/16-d3/8+(5*d4)/64+……
- (d+2)-3=d0/8-(3*d1)/16+(3*d2)/16-(5*d3)/32+(15*d4)/128+……
- (d+2)-4=d0/16-d1/8+(5*d2)/32-(5*d3)/32+(35*d4)/256+……
- (d+2)-5=d0/32-(5*d1)/64+(15*d2)/128-(35*d3)/256+(35*d4)/256+……
我們發現，在N為負整數的前提下，i為偶數時係數為正，i為奇數時係數為負。對於N為分數的情況，這裡我們不做進一步的探究。
事實上，也可以通過廣義二項式定理來分析N維數學對象與1維至N維數學對象的數量關係，但是限於篇幅，這裡我們不做進一步的探究。
衍生
對於-1維的情況，如果我們截斷到4維，則有(d+2)-1=d0/2-d1/4+d2/8-d3/16+d4/32+o(d4)
如果我們用零維、一維、二維、三維、四維的正方體作為基向量表示它：
即用D(0)=(1,0,0,0,0)、D(1)=(2,1,0,0,0)、D(2)=(4,4,1,0,0)、D(3)=(8,12,6,1,0)、D(4)=(16,32,24,8,1)表示D(-1)=(1/2,-1/4,+1/8,-1/16,1/32)，
則有D(-1)=5/2D(0)-5/2D(1)+5/4D(2)-5/16D(3)+1/32D(4)
它的含義是：在截斷到4維的情況下，-1維正方體中由25/2個點、-5/2個線段、5/4個正方形、-5/16個正方體和1/32個超正方體組成。