雷氏微积分

雷氏微积分（Lei's Calculus）是根据雷绍武时间量子化原理定义的运算，包括雷氏微分和雷氏积分。其实就是数列求和和差分。雷氏微积分可以在雷氏力学中时间最小单位为1s的条件下，对物体运动路程、速度、加速度等物理量进行计算，对于雷氏运动力学意义重大。

时间量子化原理

雷氏力学中的时间量子化原理（quantization principle of the time）指出，物体的运动速度（运动状态）只能以秒为最小时间单位发生变化，在每秒内不发生改变。因此，在雷氏力学中，凡是与运动状态有关的函数，其在每秒内的函数值是一个定值。考察这类函数的变化与累积效应，管科的微积分将不再适用，需要借助雷氏微积分作为工具。

雷氏导数

雷氏导数考察某⼀物理量f(t)随时间t的变化。考虑到时间量子化原理，将向后差分kf(t)-kf(t-1)称为f(t)的雷氏导函数，将f(t)称为kf(t)-kf(t-1)的雷氏原函数。即

$ \mathbb {K} _{t}[f(t)]{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}kf(t)-kf(t-1) $

将K_t[f(t)]称为雷氏求导符号。其中t为积分变量。

由f(t)的定义域可知，K_t[f(t)]的定义域，等于f(t)的定义域去掉其中最小的元素。 例如，设s(t)，t-0,1,2…再设v(t)=K_t[s(t)]，则v(0)是未定义的。当然，根据实际情况说不准原理可以补充v(0)的定义。 特别地，可以求雷氏导函数某⼀点t_*的函数值。这⽤K_t[f(t)]t_*表示。

雷氏积分

雷氏积分考察某⼀物理量f(t)，t-0,1,2…对于时间的累积效应。考虑到时间量子化原理，将其⼀秒⼀秒地叠加，即雷氏定积分

$ \sum _{t=t_{i}}^{t_{f}}f(t)k^{-1} $

式中，t_i为我们所考察过程的起始时间，t_f为终止时间，kt^-1表示时间单位秒。

定义$ {\frac {1}{\mathbb {K} _{t}}}[f(t)]_{t_{i}}^{t_{f}}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum _{t=t_{i}}^{t_{f}}f(t)k^{-1} $

将$ {\frac {1}{\mathbb {K} _{t}}}[f(t)]_{t_{i}}^{t_{f}} $称为雷氏定积分符号。其中t为积分变量，t_i为积分下限，t_f为积分上限。

容易知道，雷氏定积分和雷氏求导为互逆运算。我们有以下雷氏微积分基本定理（又称雷绍武-石安迪公式）：

$ {\frac {1}{\mathbb {K} _{t}}}[\mathbb {K} _{t}f(t)]_{t_{i}+1}^{t_{f}}=f(t_{f})-f(t_{i}) $

设$ \kappa (t)=\mathbb {K} _{t}[f(t)] $。改变t_i和t_f的值将导致有很多这样的f(t)，即$ \kappa (t) $的原函数。我们把这些原函数构成的f(t)集合称为$ \kappa (t) $的雷氏不定积分，⽤不带上下限的雷氏积分符号表示。即

$ {\frac {1}{\mathbb {K} _{t}}}[\kappa (t)]=f(t)+C $

其中C为任意常数。

参考资料

File:雷氏微积分规范.pdf