超理文献:對數幣和指數幣（二）

在對數幣和指數幣（一）中提到過，對數幣沒有銻幣為負的情況，指數幣沒有自身為負的情況。要研究這些特殊的情況應該怎麼辦？我們發現這類貨幣不適合用複數，已經沒有考慮exp(z)和ln(z)的必要。

拓展對數幣

在研究這個問題數年後，亞當斯鳩擴大了對數幣的定義域。他的做法實際上非常簡單，就是用對數幣的奇函數定義銻幣數量小於0的情況。

根據亞當斯鳩的想法，N<0時，對數幣的計算會變成N[lg]T=-(10^-N)T，NT=(-lg(-N))[lg]T，其中N為數值。

後來，古典經濟學領域的一位學者（其導師是Way-Way·Antimony中文翻譯為維為·張）提出，在這樣修改定義後，一個對數幣數量會對應兩個銻幣數量，所以需要在對數幣中標上正負號以表示銻幣的正負，比如[lg+]T、[lg-]T，現在我們稱之為拓展對數幣。根據他的想法，我們可以將對數幣的定義修改為：N[lg+]T=(10^N)*T，NT=(lgN)[lg+]T；N[lg-]T=-(10^-N)T，NT=(-lg(-N))[lg-]T，其中N為數值。

銻幣數量為0時，拓展對數幣不存在。如果試圖用質子計算機儲存銻幣數量為0時拓展對數幣的數值，質子計算機只會生成NaN或者錯。

定義

• N[lg+]T=(10^N)*T，NT=(lgN)[lg+]T
• N[lg-]T=-(10^-N)T，NT=(-lg(-N))[lg-]T

拓展指數幣

不同於對數幣，指數幣是雙射的並且定義域為任意銻幣，與對數幣相比它的性質已經很好了，這就使得亞當斯鳩在內的許多銻星經濟學家都沒有拓展指數幣的意願。實際上在拓展對數幣的觀點出來了兩百年（實際上是51*ln51）年之後，才有學者首次根據對稱性提出拓展指數幣。

仿照亞當斯鳩的想法，我們使用指數幣的奇函數定義指數幣數量小於0時的情況。N<0時，指數幣的計算會變成N[10]T=(-lg(-N))T，NT=(-10^-N)[10]T，其中N為數值。

後來，古典經濟學領域的另一位學者（其導師的導師是Way-Way·Antimony中文翻譯為維為·張）提出，在這樣修改定義後，一個銻幣數量會對應兩個指數幣數量，所以需要在指數幣中標上正負號以表示指數幣的正負，比如[10+]T、[10-]T，現在我們稱之為拓展指數幣。根據他的想法，我們可以將指數幣的定義修改為：N[10+]T=(lgN)T，NT=(10^N)[10+]T；N[10-]T=(-lg(-N))T，NT=(-10^-N)[10-]T，其中N為數值。

拓展對數幣數量為0時，銻幣不存在。如果試圖用質子計算機儲存對數幣數量為0時銻幣的數值，質子計算機只會輸出NaN或者錯。

定義

• N[10+]T=(lgN)T，NT=(10^N)[10+]T
• N[10-]T=(-lg(-N))T，NT=(-10^-N)[10-]T

性質

拓展指數幣有個特別的性質——一個銻幣數量對應的兩個指數幣數量我們不妨記作N₁和N₂，則恆有N₁*N₂=-1。

根據對稱性，拓展對數幣也有類似的性質——一個對數幣數量對應的兩個銻幣數量我們不妨記作N₁和N₂，則恆有N₁*N₂=-1。

這個結論不難證明，只需注意指數幣和對數幣的對稱性即可。