超理文献:超数学——正方体分析

在N维正交坐标系中，一个点的位置可以表示为(x1,x2……,xi-1,xi)，那么由所有满足{x|x∈[-1/2,1/2]}的点构成的点集则是本文讨论的对象。N=1时这是一个长度为1，且中心为原点的线段；N=2时这是一个边长为1，且且中心为原点的正方形；N=3时这是一个棱长为1，且中心为原点的正方体；N=4时这是一个棱长为1，且且中心为原点的超正方体……

我们知道，一个线段有1条边和2个顶点，一个正方形有1个正方形、4条边和4个顶点；一个立方体有1个立方体、6个面、12条棱和8个顶点；一个超立方体有1个超立方体、8个正方体、24个面、32条棱和16个顶点。通过数学归纳法，对于N维的情况有：(d+2)^N=Σ(i=0,n)C(N,i)*2^(N-I)*d^i。这里d^i代表数学对象的维度，其系数表示其个数。根据这个式子，我们总结了N维数学对象与1维至N维数学对象的数量关系，见下表。

N维的数学对象的个数

展开	0维	1维	2维	3维	4维	5维	6维	7维	8维	9维	10维
0维	1个
1维	2个	1个
2维	4个	4个	1个
3维	8个	12个	6个	1个
4维	16个	32个	24个	8个	1个
5维	32个	80个	80个	40个	10个	1个
6维	64个	192个	240个	160个	60个	12个	1个
7维	128个	448个	672个	560个	280个	84个	14个	1个
8维	256个	1024个	1792个	1792个	1120个	448个	112个	16个	1个
9维	512个	2304个	4608个	5376个	4032个	2016个	672个	144个	18个	1个
10维	1024个	5120个	11520个	15360个	13440个	8064个	3360个	960个	180个	20个	1个

但是，对于负数维度的情况，我们要怎么分析呢？仙童数学指出，对于N为负数的情况，我们可以对(d+2)^N进行泰勒展开，从而得到d^i项的系数。进一步地，我们还可以分析N为分数的情况。d^i项的系数为f在0处的i阶导数除以i的阶乘。

这里，我们附上N为-1到-5时的情况（为了简洁，我们只展开到4维）：

1. (d+2)^-1=d^0/2-d^1/4+d^2/8-d^3/16+d^4/32+……
2. (d+2)^-2=d^0/4-d^1/4+(3*d^2)/16-d^3/8+(5*d^4)/64+……
3. (d+2)^-3=d^0/8-(3*d^1)/16+(3*d^2)/16-(5*d^3)/32+(15*d^4)/128+……
4. (d+2)^-4=d^0/16-d^1/8+(5*d^2)/32-(5*d^3)/32+(35*d^4)/256+……
5. (d+2)^-5=d^0/32-(5*d^1)/64+(15*d^2)/128-(35*d^3)/256+(35*d^4)/256+……

我们发现，在N为负整数的前提下，i为偶数时系数为正，i为奇数时系数为负。对于N为分数的情况，这里我们不做进一步的探究。

事实上，也可以通过广义二项式定理来分析N维数学对象与1维至N维数学对象的数量关系，但是限于篇幅，这里我们不做进一步的探究。