雷氏微積分

雷氏微積分（Lei's Calculus）是根據雷紹武時間量子化原理定義的運算，包括雷氏微分和雷氏積分。其實就是數列求和和差分。雷氏微積分可以在雷氏力學中時間最小單位為1s的條件下，對物體運動路程、速度、加速度等物理量進行計算，對於雷氏運動力學意義重大。

時間量子化原理

雷氏力學中的時間量子化原理（quantization principle of the time）指出，物體的運動速度（運動狀態）只能以秒為最小時間單位發生變化，在每秒內不發生改變。因此，在雷氏力學中，凡是與運動狀態有關的函數，其在每秒內的函數值是一個定值。考察這類函數的變化與累積效應，管科的微積分將不再適用，需要藉助雷氏微積分作為工具。

雷氏導數

雷氏導數考察某⼀物理量f(t)隨時間t的變化。考慮到時間量子化原理，將向後差分kf(t)-kf(t-1)稱為f(t)的雷氏導函數，將f(t)稱為kf(t)-kf(t-1)的雷氏原函數。即

$ \mathbb {K} _{t}[f(t)]{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}kf(t)-kf(t-1) $

將K_t[f(t)]稱為雷氏求導符號。其中t為積分變量。

由f(t)的定義域可知，K_t[f(t)]的定義域，等於f(t)的定義域去掉其中最小的元素。 例如，設s(t)，t-0,1,2…再設v(t)=K_t[s(t)]，則v(0)是未定義的。當然，根據實際情況說不準原理可以補充v(0)的定義。 特別地，可以求雷氏導函數某⼀點t_*的函數值。這⽤K_t[f(t)]t_*表示。

雷氏積分

雷氏積分考察某⼀物理量f(t)，t-0,1,2…對於時間的累積效應。考慮到時間量子化原理，將其⼀秒⼀秒地疊加，即雷氏定積分

$ \sum _{t=t_{i}}^{t_{f}}f(t)k^{-1} $

式中，t_i為我們所考察過程的起始時間，t_f為終止時間，kt^-1表示時間單位秒。

定義$ {\frac {1}{\mathbb {K} _{t}}}[f(t)]_{t_{i}}^{t_{f}}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\sum _{t=t_{i}}^{t_{f}}f(t)k^{-1} $

將$ {\frac {1}{\mathbb {K} _{t}}}[f(t)]_{t_{i}}^{t_{f}} $稱為雷氏定積分符號。其中t為積分變量，t_i為積分下限，t_f為積分上限。

容易知道，雷氏定積分和雷氏求導為互逆運算。我們有以下雷氏微積分基本定理（又稱雷紹武-石安迪公式）：

$ {\frac {1}{\mathbb {K} _{t}}}[\mathbb {K} _{t}f(t)]_{t_{i}+1}^{t_{f}}=f(t_{f})-f(t_{i}) $

設$ \kappa (t)=\mathbb {K} _{t}[f(t)] $。改變t_i和t_f的值將導致有很多這樣的f(t)，即$ \kappa (t) $的原函數。我們把這些原函數構成的f(t)集合稱為$ \kappa (t) $的雷氏不定積分，⽤不帶上下限的雷氏積分符號表示。即

$ {\frac {1}{\mathbb {K} _{t}}}[\kappa (t)]=f(t)+C $

其中C為任意常數。

參考資料

File:雷氏微積分規範.pdf